円周上の点がつくる三角形（2）

円周上でランダムにとった3点でつくられる三角形が鋭角三角形になる確率は、1/4ということであった。

以前の結果を使って結論を出したが、この「円周上のランダムな3点による三角形が鋭角三角形になる確率」の求め方について、改めて整理しておこう。

中心が原点にある単位円に、3点A,B,Cをとって三角形を描く。

点Aは、座標(1,0)に固定する。

点Bは、上半円周の任意の点とし、弧AB＝a とする。

点Cは、円周上の任意の点とし、弧ABC＝b とする。

点Bが、0＜a＜π のとき、点Cが、π＜b＜π+a を満たせば（赤色の弧の上にあれば）、鋭角三角形になる。

赤色の弧の長さは、弧ABの長さ(a)と同じなので、鋭角三角形になる確率は、a/(2π)　となる。

この a が 0からπまで変化するときの f(a)=a/(2π) が全体のどれだけの割合になるかを調べればよい。

 f(a)=a/(2π) を（0→π）で積分して、πで割る（青色の面積を底辺で割る）ことで、

{［(1/(4π))a^2］（0→π）}÷π＝(π/4)÷π＝1/4　すなわち、確率 1/4 （＝0.25）が得られる。

新たに条件を加えて、次のような問題をつくってみた。

点A,Bは上記と同じとし、点Cは、「弧ABを除く円周上に配置する」こととする。この場合、「鋭角三角形になる確率」はいくらか。

上記と同じく、点Cが、π＜b＜π+a を満たせば（青色のエリアにあれば）よいわけだが、点Cを弧AB上（赤色のエリア）に置いてはいけないので、鋭角三角形になる確率は、a/(2π-a) と表せる。

すなわち、 f(a)=a/(2π-a) の積分から確率を求めることになる。

2π-a＝x とおいて置換積分すると、(x-2π)/x を（2π→π）で積分することになり、［ｘ- 2πlogｘ］（2π→π）＝ 2π log 2－π ≒ 1.212

これを π で割ればよいので、求める確率は、2 log 2－1 ≒ 0.386　となる。

円周上の点がつくる三角形（1）

円周上に点をとる作業を進めてきたが、これに関連した問題。

円周上にランダムに3点をとり、これらを頂点とする三角形をつくるとき、これが鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形となる条件について調べてみた。

原点を中心とする半径1の単位円において、座標(1,0)に点Aを固定し、上半円の適当な位置に点Bをとる。このとき、第3点目の点Cのとり方によって、鋭角三角形（青色）、直角三角形（赤色）、鈍角三角形（緑色）のいずれもつくることができる。

初めに、2点A,Bを固定したときの、直角三角形になる場合を考えると、

∠ABCと∠BACが直角になる2種類の直角三角形をつくることができる。ACまたはBCが中心Oを通る（直径になる）ように、点Cをとればよい。

そして、鋭角三角形または鈍角三角形となる条件は、このポイントが分岐点となる（この分岐点をR1､R2とする）。

2点A,Bを固定したときの、鋭角三角形は、上記の分岐点R1とR2を端点とする弧（半円より小さいもの、弧ABを含まない側）の上に、点Cをとればよい。

逆に、鈍角三角形は、弧R1BAR2の上に、点Cをとればよいということになる。

点Aは固定したまま、点Bの位置を上半円の円周上で動かした場合、鋭角三角形と鈍角三角形の現れやすさを調べてみよう。

点Bを第1象限にとると、分岐点R2（直角三角形を形成する点）は第3象限に現れる。なお、R1は点Aを固定しているのでつねに定位置（座標(-1,0)）にある。

点Bが点Aに近づくにしたがって、この青色のエリアは狭くなり、点BがR1に近づくにしたがって、青色のエリアは下半円全体に広がっていく。

そして、点Cが青色のエリアにあれば鋭角三角形、緑色のエリア（点A､Bをのぞく）にあれば鈍角三角形となることが分かる。

したがって、円周上にランダムにとった3点で作られる三角形が鋭角三角形になる確率を求めることは、弧R1R2の長さ（＝弧ABの長さ）の平均が全円周に対してどれくらいの割合になるかを調べることと同じである。

円周上にランダムに2点をとったときの弧の長さの平均はすでに調べた通り、π/2 であった。

したがって、鋭角三角形になる確率は、(π/2)÷2π＝1/4　となる。

ちなみに、鈍角三角形になる確率は、3/4 であり、直角三角形になる確率は、0（極めて珍しいこと）となる。

弦の長さとベルトランのパラドックス

これまでの「ランダムに引いた弦の長さ」の考察から「ベルトランのパラドックス」の確率を検証したい。

初めに、ベルトランのパラドックスについておさらいしておく。

半径が1の円にランダムに引いた弦の長さが√3以上になる確率について、

（1）円周上にランダムに2点をとって弦をつくったとき、確率は、1/3

（2）直径上にランダムな1点をとって弦をつくったとき、確率は、1/2

（3）円の内部にランダムな1点をとって弦をつくったとき、確率は、1/4

一方、「円の中にランダムに引いた弦の長さ」を調べてきた方法を整理すると、

（1）円周上に適当なに2点をとったとき（方法①②③）、弦の長さの変化は y=2sinθに従い、平均値は4/π（約1.27）

（2）直径上に適当な1点をとったとき（方法④）、弦の長さの変化は y＝2√(2x-x^2) に従い、平均値はπ/2（約1.57）

（3）円の内部に適当な1点をとったとき（方法⑤）、弦の長さの変化は y＝2√(1-(t/π))に従い、平均値は4/3（約1.33）　（ tは打点を円周上にもつ円の面積に相等） 

これらについて、縦軸を弦の長さとしてスケールを合わせ、1つの座標平面にまとめてみると、次のようになる。

（1）変数θ　 オレンジ y=2sin((π/2)ｘ)

（2）変数ｘ 緑 y＝2√(2ｘ-ｘ^2) 

（3）変数ｔ 紺 y＝2√ｘ

弦の長さが、√3よりも大きくなる（内接する正三角形の一辺より長くなる）ところは、それぞれ、

（1）オレンジ 0.66以上

（2）緑 0.5以上

（3）紺 0.75以上　になっていることが分かる。

すなわち、

（1）円周上に2点をとった場合、弦が√3より大きくなる確率は、1/3

（2）直径（半径）上に1点をとった場合、弦が√3より大きくなる確率は、1/2

（3）円の内部に1点をとった場合、弦が√3より大きくなる確率は、1/4　

となることが、弦の長さを調べた数式からも確かめられる。

ランダムに引いた弦の長さ（8）

方法5による、半径が1の円の内部にランダムにとった点Aをもとに引いた弦の長さは、平均 4/3 になるということであった。

前回とは違った方法で再検証してみたい。

円の内部にランダムに点を打つということなので、打たれた点の位置は2次元で考えることになる。

方法4の考え方では、中心からの距離 r によって、BC＝2√(1-r^2)　を r の関数として計算した。

今回は、ｒの代わりに、半径 r の円の内部の面積 πr^2 を変数として、

ｔ＝πr^2 にｓ＝2√(1-r^2) を対応させ、ｒを媒介変数とする関数（s＝f(t)）を考える。

すなわち、πr^2＝t とおいて、r^2=t/π とし、これを 2√(1-r^2) に代入すると、f(t)＝2√(1-(t/π))  が得られる。

この関数をグラフに表すと、次のようになる。

t軸、s軸、s=f(t)で囲まれた部分の面積は、Integral｛2√(1-(t/π))｝（0→π）＝［(-4/3)π(1-(t/π))^(3/2)］（0→π）

＝(4/3)π　となる。これを π－0＝π で割ると、4/3　となって、前回求めた値に一致する。

ランダムに引いた弦の長さ（7）

2次元上の点をもとに定義する弦BCの長さについて、この起こりやすさをどのように組み込めば、その平均を求めることができるか、を考える。

θ＝0として、原点からの距離がrである点Aに対する弦BCの長さは、f(r)＝2√(1－r^2) （0≦ｒ≦1） で表せる。

点Aの選ばれやすさを、仮に点Aが属する円周の長さで表すことにして、g(r)＝2πr　とする。

ｙ軸に f(r) の値をとり、z軸に g(r) の値をとって、これらの積による長方形の面積を、r方向（x軸）に積分すれば、立体の体積が求められる。これを底面積で割れば、高さ（f(r)、すなわち弦BCの長さ）の平均値が求められると考えた。

いま、次のように4分の1円の中で、点Aの位置を表すｒを、点Sからスタートさせて、半径SO上を動かし、SA＝ｒとして、そのときの線分AB（弦BCの半分）の長さの変化を考える。

ｙ＝f(r)のグラフ（0≦ｒ≦1）は、次のようになる。

すなわち、r=0のとき、AB＝0、r=1のとき、AB＝1であり、f(r)＝√(2r-r^2)　と表せる。

また、ｚ＝g(r)のグラフ（0≦ｒ≦1）は、次のようになる。

すなわち、r=0のとき、弧AT＝π/2、r=1のとき、弧AT＝0であり、g(r)＝(π/2)(1-r)　と表せる。

立体を表現するのは難しいが、これらの積を r 方向に積分すると、

Integral｛√(2r-r^2)・(π/2)(1-r)｝dr （0→1）＝［(π/6)(2r-r^2)^(3/2)］（0→1）＝π/6

この立体の高さの平均を求めるために、底面積 π/4 で割ると、(π/6)÷(π/4)＝2/3　となる。

弦の長さはABの2倍なので、2/3×2＝4/3 （≒1.33） が、方法⑤による弦の平均値ということになる。

 

ランダムに引いた弦の長さ（6）

「円の中にランダムに引いた弦の長さ」について、また違った方法を考える。

（3）円の内部に適当な点をとり、その点が中点となるような弦の長さはどれくらいになるか。

⑤ 方法5

下図のように、中心が原点にある単位円の内部に適当な点Aをとり、OAに垂直な直線を引くとき、点Aを中点とする弦BCが引ける。円の内部にランダムな点をとった場合に、この弦BCの長さの平均を求めたい。

これまでとは異なり、点Aは2次元表記が必要になる。

点Aは、直交座標で、(x,y) （ただし、0≦ｘ≦1、0≦ｙ≦1、0≦x^2＋y^2≦1）と表す方法もあるし、

極座標で、(r,θ) （ただし、0≦ｒ≦1、0≦θ≦2π）と表す方法もある。ここでは極座標を用いて考える。

A(r,θ)を定めるとき、弦BCの長さは、2√(1－r^2) と表せる。θ は弦の長さには影響しない。

しかし、同じθ座標をもつOD上の点であっても、座標ｒが大きくなる（外周に近づく）と、その一周（点線）の長さが長くなることから、選ばれやすさも大きくなると思われる。

点Aと同じ半径ｒをもつ点の集まりは、2πrの長さの円周上の点であり、点A'と同じ半径r'をもつ点の集まりは、2πr'の長さの円周上の点であることから、点Aに対する点A'の選ばれやすさは、r'：r といえるだろう。

点Aよりも内側の点が選ばれる確率（πr^2/π）に対して、点A'より内側の点が選ばれる可能性（πr'^2/π）は、r'^2：r^2 、すなわち、半径の比（r'/r）の2乗に比例するという言い方もできる。

ランダムに引いた弦の長さ（5）

引き続き、③と④の「確率測度の違い」について考える。

③の場合、CD＝2sinθと表すことができて、θが 0→π/2 で変化するときのCDの長さの平均を求めた。

いま、第1象限と第2象限におけるBCの長さの平均を求めるとしたとき、

f(θ)＝sinθで表される曲線とθ軸に挟まれた部分の面積をπで割れば、この山の高さ（BCの長さ）の平均が求められる。

上図のサインカーブの面積は 2 なので、ここから導かれるBCの長さの平均は、2÷π＝2/π≒0.637　となる。（2倍すると、1.27）

円周上の点に着目してその変化を追うということは、動径の「θ」が変数になっている。

一方、④の場合、AB間の距離をxと置き直したとき、CD＝2√(2x-x^2) と表すことができて、ｘが0→1で変化するときの長さの平均を求めた。

上記と同様に、第1象限と第2象限におけるBCの長さの平均を求めるとすると、

f(x)＝√(2x-x^2) で表される曲線（半円）とｘ軸に挟まれた部分の面積を2で割れば、BCの平均が求められる。

半径が1の半円の面積は、π/2 なので、導かれるBCの長さの平均は、π/2÷2＝π/4≒0.785　となる。（2倍すると、1.57）

半径（直径）上の点に着目してその変化を追うのは、線分上の位置「ｘ」が変数になっているということだ。

③と④のグラフの曲線は、縦軸においては、0→1 の同様の変化を表しているわけだが、横軸の動きの違いによって、サインカーブと半円のカーブに描き分けられているともいえる。

したがって、③のグラフの、縦軸はsinθの値（そのまま）で、横軸をθでなく、1-cosθ をとるようにプロットするならば、それは、④の半円のカーブを描くことになる。